Deux problèmes de géométrie accompagnés de fonction.

Bonjour !

Voici deux exercices auquels je n'ai strictement rien compris. J'espère que vous m'aiderez :

Citation :

Le triangle ABC est rectangle et isocèle en A. On donne BC = 9. Soit I le milieu de [BC]. Le point M appartient au segment [BI]. Le quadrilatère MNPQ est un rectangle où N est un point du segment [AB], P un point du segment [AC] et Q un point du segment [BC].

1. a)Démontrer que MN = BM
b) Prouver que BM = QC

2. On pose BM = x
a)Pourquoi le réel x est-il un élément de [0 ; 4,5] ?
b) Exprimer les dimensions MQ et MN en fonction de x.
c)Démontrer que l'aire du rectangle MNPQ, notée f(x), s'écrit : f(x)=9x-2x²

3. Calculer la valeur exacte de f (9/4).

4. a) Par lecture graphique, quel semble être le tableau de variation de f ? (Pas besoin de m'aider ça c'est OK)
b) Développer (81/-2(x-9/4)²
En déduire la valeur exacte de x pour laquelle l'aire du rectangle MNPQ est maximale et la valeur de ce maximum.

Citation :

ABC est un triangle rectangle en B tel que AB = 3, et BC = 4.
Les points D, E, F, appartiennent respectivement aux segments [AB], [Ac] et [BC].
BDEF est un rectangle.
Où faut-il placer E pour que la distance DF soit minimale ?