Bonsoir,
Avant tout, ce serait bien si tu précisais en quel niveau tu es. Cela permettrait de bien cadrer la réponse quand il y en a une.
Je vais essayer de répondre à ton problème sans être un spécialiste des probabilités, et j'espère être clair malgré l'absence des polices adéquates sur le forum pour utiliser les notations des probabilistes :
Ton espace probabiliste est Omega = {N,R,B,V,A} où chaque lettre se réfère à une couleur de zone (Noire, Rouge, Bleue, Verte) et la lettre A pour dire Ailleurs que sur la cible.
La variable aléatoire X est définie comme :
X = {+15 si N, +2 si R, -2 si B, -4 si V et -8 si A}
Comme tu le sais, la loi de X n'est autre que la fonction qui donne les probabilités de X pour tout l'espace probabiliste. Comme les probabilités sont proportionnelles aux aires des différentes zones, nous devons estimer ces surfaces.
D'après ton énoncé, les zones ont la même épaisseur (disons r qui est de 5 cm). Donc :
La surface de N = S(N) = Pi * r^2 (Pi = 3.14 et r^2 n'est autre que le carré de r)
La surface de R = S(R) = Pi * (4-1) r^2 = 3*Pi*r^2
La surface de B = S(B) = Pi * (9-4) r^2 = 5*Pi*r^2
La surface de V = S(V) = Pi * (16-9) r^2 = 7*Pi*r^2
La surface total de la cible = S(N)+S(R)+S(B)+S(V) = 16*Pi*r^2
La probabilité de manquer la cible étant de 1/4, la probabilité de l'atteindre sera donc de 3/4. Or comme la probabilité d'atteindre chaque zone est proportionnelle à la surface de cette zone, et en admettant le même coefficient de proportionnalité pour toutes les zones, on peut écrire que la probabilité d'atteindre la cible est :
P(cible) = k*(S(N)+S(R)+S(B)+S(V)) = k*16*Pi*r^2 k étant le coefficient de proportionnalité
d'autre part, on a P(cible) = 3/4
D'où l'on déduit :
k = 3/(64*Pi*r^2)
Ainsi donc :
La probabilité d'atteindre N = P(N) = k*Pi*r^2 = 3/64
La probabilité d'atteindre R = P(R) = k*3*Pi*r^2 = 9/64
La probabilité d'atteindre B = P(B) = k*5*Pi*r^2 = 15/64
La probabilité d'atteindre V = P(V) = k*7*Pi*r^2 = 21/64
Ainsi la loi de X est indépendante de la valeur de r et peut s'écrire :
P(X) = {3/64 si N, 9/64 si R, 15/64 si B, 21/64 si V, 1/4 si A}
On vérifie bien que la somme de toutes les probabilités pour X parcourant tout l'espace Omega est égale à 3/64+9/64+15/64+21/64+1/4=1
Je pense que là, tu as la réponse à ta première question !!! Maintenant tu peux faire la suite !!!!!!
Allez, je te donne une indication. Pour que le gain soit positif, la fléchette doit atteint les zones N
ou R. Avec la loi de X, tu as directement la réponse. Je souligne le "ou" car il faut en tenir compte dans le calcul des probabilités.
Pour la dernière question, il faut regarder l'espérance mathématique. Je n'en dis pas plus
Voilà, j'espère que tu as suffisamment d'élément pour rédiger ton DM.
Bon courage.